非回転体の体積④（早稲田大）

今回の主役は円錐です。空間における円錐面の方程式は書けるようにしておくとよいでしょう。

円錐面を平面 \(z=y\) で切った断面に「放物線」が現れる。
ゆえに断面は放物線で囲まれた部分を積分すればOKですね。

さて、平面Pによって分けられた2つの立体のうち,小さい方とは円錐の頂点を含まない側であることが直観的にわかります。直円錐の2等分から,この立体を除いた立体をKと名づけて積分しましょう。

じつは立体Kは底面を(1)でもとめた放物線を底面とする「錐体」です。なので錐体の体積
\(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a^2\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}a=\dfrac{2}{9}a^3\) と求めることも可能ですね。