積分法 回転体の体積(東京大)
問題 ★★★★★ ポイント まずは簡単に図示をしてみて,様子を見てみましょう。回転体の基本は「回転軸に垂直に切る」ですから,平面 \(x=t\) での切り口を考えましょう。 ポイント とりあえずは,\(t=\dfrac12\) の前後で切り...
積分法
積分法 
数学Ⅲ 非回転体の体積①(東京電機大)
問題 ★★☆☆☆ ポイント 非回転体の体積を求めるにあたって,まず重要なのは「どの平面で切るか」です。なるべく断面が簡単に求まるほうがいいですね。例として3パターン挙げておきましょう。 ポイント 今回は断面が「直角二等辺三角形」となる左のパ...
数学Ⅲ 非回転体の体積④（早稲田大）
問題 ★★★★☆ ポイント 今回の主役は円錐です。空間における円錐面の方程式は書けるようにしておくとよいでしょう。 ポイント 円錐面を平面 \(z=y\) で切った断面に「放物線」が現れる。ゆえに断面は放物線で囲まれた部分を積分すればOKで...
数学Ⅲ 不等式で表された立体の体積①(北海道大)
問題 ★★★★☆ ポイント 立体のイメージがわかないので,とりあえず断面を考察しよう。x,yについての対称性を崩さないように, 平面 \(z=t\) で切る誘導がついている。 ポイント あとはtを0から1まで動かして積分しましょう。
数学Ⅲ 不等式で表された立体の体積③(東京大)
問題 ★★★★☆ ポイント 立体のイメージがわかないので,とりあえず断面を考察しよう。x,y,zについて対称な不等式であるため,とりあえず 平面 \(z=t\) で切ってみよう。 ポイント 断面がtの値の範囲によって異なるので,それぞれ場合...
数学Ⅲ 非回転体の体積②(東京大)
問題 ★★★★★ ポイント 立体のイメージがわかないので,とりあえず平面 \(z=t\) 上でどんな断面なのかを考察してみよう。 ポイント 断面は正方形の内部と円の外部の共通部分であることがわかった。断面が存在する条件に注意して,断面積を求...
数学Ⅲ 不等式で表された立体の体積②(東京大)
問題 ★★★★★ ポイント 立体のイメージはつかめなくてよい。軸に垂直な平面で切ったときの断面を考える。このとき,登場回数の多い文字や次数の高い文字が定数になるように平面を選択しよう。 ポイント 今回の断面は不等式から台形とわかるが,tの値...
数学Ⅲ 回転体の体積(東北大)
問題 ★★★★☆ ポイント いきなり回転体のイメージはつかめないので,とりあえずP,Qがどのように動くのかをとらえてみよう。 ポイント Aから線分PQに下ろした垂線の長さは,直角三角形の相似に着目すれば難しくありません。 ポイント 線分PQ...
数学Ⅲ 非回転体の体積③(大阪大)
問題 ★★★★★ ポイント 立体のイメージがわかないので,とりあえず平面 \(z=t\) 上でどんな断面なのかを考察してみよう。 \(\overrightarrow{OR}\) は \(\overrightarrow{OP}\) でいったん...