\(\alpha\),\(\beta\) は \(0<\alpha<\beta<2\pi\) をみたす実数とする。
すべての実数\(x\) について,\(\cos{x}+\cos(x+\alpha)+\cos(x+\beta)=0\) が成立するような \(\alpha,\beta\) を求めよ。
「すべて」の \(x\) について成立ためには「ある」\(x\) で成立することが必要
①と②を移項してから両辺２乗することで処理を楽にする。
ここまでは(★)が成立するための必要条件。
実際にすべての \(x\) で成立するか確認して十分である。
\noindent{等式}~$\cos{x}+\cos(x+\alpha)+\cos(x+\beta)=0\cdots(\star)$~が\textcolor{red}{すべての実数$x$について成立}するためには,\
たとえば,$x=0$,$x=\bunsuu\pi2$で成立することが\textcolor{blue}{必要}である。$x=\bunsuu\pi2$を代入すると,$0+\cos\p{\bunsuu\pi2+\alpha}+\cos\p{\bunsuu\pi2+\beta}=0$\\
すなわち,$-\sin\alpha-\sin\beta=0$\\
つまり$\trenritu{\cos\alpha+\cos\beta=-1\cdots\maru{1}\\\sin\alpha+\sin\beta=0\cdots\maru{2}}$が成立することが\textcolor{blue}{必要}。\\
\maru{1}~$\douti~{\cos\alpha=-1-\cos\beta}$\\
\maru{2}~$\douti~{\sin\alpha=-\sin\beta}$\\
それぞれの式の両辺を2乗して,\\$\trenritu{\cos^2\alpha=\cos^2\beta+2\cos\beta+1\cdots\maru{3}\
\sin^2\alpha=\sin^2\beta\cdots\maru{4}}$\
$\maru{3}+\maru{4}$から$1=1+2\cos\beta+1$~~~$\yueni~{\cos\beta=-\bunsuu12}$\
\maru{1}より,${\cos\alpha=-\bunsuu12}$\
$0<\alpha<\beta<2\pi$であるから,$\textcolor{teal}{(\alpha,\beta)=\p{\bunsuu23\pi,\bunsuu43\pi}}$\
これは$\maru{2}$を満たす。\
このとき$(\star)$は,\$=\cos{x}+\p{-\bunsuu12\cos{x}-\bunsuu{\sqrt{3}}2\sin{x}}+\p{-\bunsuu12\cos{x}+\bunsuu{\sqrt{3}}2\sin{x}}$\\
$=0$~~となって,\textcolor{red}{たしかにすべての実数$x$について成立}する。\\$\bd{(\alpha,\beta)=\p{\bunsuu23\pi,\bunsuu43\pi}\cdots(答)}$
コメント