立体のイメージがわかないので,とりあえず断面を考察しよう。
x,y,zについて対称な不等式であるため,とりあえず 平面 \(z=t\) で切ってみよう。
断面がtの値の範囲によって異なるので,それぞれ場合分けをしました。
やはり断面に扇形が登場するため,θによる変数置換をしておきます。
それぞれの体積を \(V_1,V_2\) とおいて,積分します。
本問の立体は以下のようなイメージです。
$xyz$空間にそれぞれ$x$軸,$y$軸,$z$軸を中心とし,底面の半径が1の直円柱が3つある。\
\hfill$\trenritu{x^2+y^2\leqq{1}~\cdots~\maru{1}\y^2+z^2\leqq{1}~\cdots~\maru{2}\z^2+x^2\leqq{1}~\cdots~\maru{3}}$~\hfill~\
このとき,\maru{1},\maru{2}および\maru{3}の共通部分の体積を求めよ。
共通部分の立体を平面$z=t(0\leqq{t}\leqq{1})$で切ったときの断面は,\ 連立不等式$\trenritu{~~~x^2+y^2\leqq{1}\ -\sqrt{1-t^2}\leqq{x}\leqq{\sqrt{1-t^2}}\-\sqrt{1-t^2}\leqq{y}\leqq{\sqrt{1-t^2}}}$で表される領域である。\\ $t=\bunsuu{1}{\sqrt{2}}$の前後で断面図は以下のように場合分けされる。\ \hspace{98mm}\tokeiichib$0\leqq{t}\leqq\bunsuu1{\sqrt{2}}$のとき\hspace{11mm}\tokeinib$\bunsuu1{\sqrt{2}}\leqq{t}\leqq{1}$のとき \ymawarikomi{3}{4}{10cm}{3entyu2.ai}{5.3cm}{28}% \tokeiichib~のとき,$\bunsuu{1}{4}S_1(t)=2\cdot\bunsuu12\cdot\sqrt{1-t^2}\cdot{t}+\bunsuu12\p{\bunsuu\pi2-2\theta}$\
$\yueni~S_1(t)=4t\sqrt{1-t^2}+\pi-4\theta$\
\tokeinib~のとき,$\bunsuu14S_2(t)={\sqrt{1-t^2}}^2=1-t^2$\
$\yueni~S_2(t)=4(1-t^2)+\pi$\$V_1=\dint{0}{\frac1{\sqrt{2}}}S_1(t)dt$\
=$\dint{0}{\frac1{\sqrt{2}}}-2\sqrt{1-t^2}\cdot(-2t)dt+\dint{0}{\frac\pi4}(\pi-4\theta)\cos\theta{d}\theta$\hspace{7mm}断面積~$S_1(t)$~体積~$V_1$\hspace{16mm}断面積~$S_2(t)$~~~体積~$V_2$\
=$\bunsuu43\p{1-\bunsuu{\sqrt{2}}4}+4-2\sqrt{2}$\\=$\bunsuu{16-7\sqrt{2}}{3}$
\begin{multicols}{2}
$V_2=\dint{\frac1{\sqrt{2}}}{1}S_2(t)dt$\
=$4\teisekibun{t-\bunsuu{t^3}{4}}{0}{\frac1{\sqrt{2}}}$
=$\bunsuu{8-5\sqrt{2}}{3}$~
よって求める立体の体積$V$は$xy$平面における対称性\
をふまえて,\
$V=2\cdot\p{\bunsuu{16-7\sqrt{2}}{3}+\bunsuu{8-5\sqrt{2}}{3}}$\
=$16-8\sqrt{2}\kotae$
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