どうやってこうか手が止まってしまいそうですね。\(\sin,\cos,\)のみの積分のときには「微分形がくっついた形」にもっていけないか？が1つのアプローチです。
積分公式まとめにも載っていますが,以下の形をつくろうかと思います。
\(\dfrac{1}{\cos{x}}\) の分母＆分子に \(\cos{x}\) をかけると,この形に帰着できそうです。
ここまでくると,自然に \(t=\sin{x}\) と置き換えればうまく積分できそうです。
途中”部分分数分解”が出てきたり,いろいろと確認できる問題でしたね。
定積分~$\dint{0}{\frac\pi4}\bunsuu1{\cos{x}}\,dx$~を求めよ.\\\
$\dint{0}{\frac\pi4}\bunsuu1{\cos{x}}\,dx=\dint{0}{\frac\pi4}\bunsuu{\cos{x}}{\cos^2x}\,dx$\
$=\dint{0}{\frac\pi4}\bunsuu{\cos{x}}{1-\sin^2x}\,dx$\\
$t=\sin{x}$とおくと,$dt=\cos{x}\,dx$で,
\begin{tabular}{c||c}
$x$&0$\to\frac\pi4$\\hline
$t$&$0\to\frac1{\sqrt{2}}$\
\end{tabular}と区間が変化し,\\
$\dint{0}{\frac1{\sqrt{2}}}\bunsuu{1}{1-t^2}\,dt=\dint{0}{\frac1{\sqrt{2}}}\bunsuu1{(1+t)(1-t)}\,dt$\
$=\dint{0}{\frac1{\sqrt{2}}}\bunsuu12\p{\bunsuu1{1+t}+\bunsuu1{1-t}}\,dt$\
$=\teisekibun{\bunsuu12\log\bunsuu{1+t}{1-t}}{0}{\frac1{\sqrt{2}}}$\
$=\bunsuu12\log\bunsuu{1+\frac1{\sqrt{2}}}{1-\frac1{\sqrt{2}}}$\
$=\bunsuu12\log\bunsuu{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$\
$=\bunsuu12\log(\sqrt{2}+1)^2$\
$=\log{(\sqrt{2}+1)}\kotae$
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