まずは簡単に図示をしてみて,様子を見てみましょう。
回転体の基本は「回転軸に垂直に切る」ですから,平面 \(x=t\) での切り口を考えましょう。
とりあえずは,\(t=\dfrac12\) の前後で切り口の形が変わるのは見えたので場合分けは必要ですね。いったん平面 \(x=t\) で切ってみましょう。
さて,ここから各断面の切り口(線分)を回転軸の周りに回すわけですが,以下のように回転軸から線分までの最短距離・最長距離を考えると場合分けの境目が見えてきます。
図でいうと,点Hと点Rが一致する瞬間が場合分けのポイントですね。
あとは,\(t\) を0から1まで変化させて積分して終了です。
座標空間内に3点A($1,0,0$),B($0,1,0$),($0,0,1$)をとり,Dを線分ACの中点とする.\
三角形ADBの周および内部を$x$軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ.
立体を平面$x=t~(0\leqq{t}\leqq{1})$で切ったときの断面について考える.\
$x=t$と線分ABとの交点をP,線分ADと$x=t$との交点をQ,\
$0\leqq{t}\leqq\bunsuu12$のとき線分BDと$x=t$との交点をRとする。\
3点A,B,Cを通る平面の方程式は$x+y+z=1$で表され,\
平面$x=t$との交線の方程式は$y+z=1-t$である。\
また,点S\,$(t,0,0)$とし,Sから直線$y+z=1-t$に下した垂線の足をHとする。\
直線ABの方程式$x+y=1$と$x=t$との交点から,P\,($t,1-t,0$)\
直線ACの方程式$x+z=1$と$x=t$との交点から,Q\,($t,0,1-t$)\
また直線BD上の点Qは実数$s$を用いて,$\Vec{OQ}=(1-s)\Tvec<0,0.5>[0,1,0]+s\Tvec[\frac12,0,\frac12]=\Tvec[\frac12{s},1-s,\frac12{s}]$と表され,\
$x=t$上にあることから,R\,($t,1-2t,t$)である。\
以下,Rの$x$座標の$1-2t$と,Hの$x$座標の$\bunsuu{1-t}{2}$の大小で場合分けする。\
$0\leqq{t}\leqq\bunsuu13$のとき
断面積は,$\pi\B{\zettaiti{\Vec{SP}}^2-\zettaiti{\Vec{SR}}^2}=\pi\B{(1-t)^2-\p{(1-2t)^2+t^2}}=\pi\p{-4t^2+2t}$\
\tokeini~$\bunsuu13\leqq{t}\leqq1$のとき\
断面積は,$\pi\B{\zettaiti{\Vec{SP}}^2-\zettaiti{\Vec{SH}}^2}=\pi\B{(1-t)^2-\p{\sqrt{2}\cdot\bunsuu{1-t}2}^2}=\bunsuu\pi2(1-t)^2$\
以上から立体の体積$V$は,\
$V=\dint{0}{\frac13}\pi(-4t^2+2t)\,dt+\dint{\frac13}{1}\bunsuu\pi2(1-t^2)\,dt=\bd{\bunsuu\pi9\kotae}$
コメント