回転体の体積(東京大)

まずは簡単に図示をしてみて,様子を見てみましょう。
回転体の基本は「回転軸に垂直に切る」ですから,平面 \(x=t\) での切り口を考えましょう。

とりあえずは,\(t=\dfrac12\) の前後で切り口の形が変わるのは見えたので場合分けは必要ですね。いったん平面 \(x=t\) で切ってみましょう。

さて,ここから各断面の切り口(線分)を回転軸の周りに回すわけですが,以下のように回転軸から線分までの最短距離・最長距離を考えると場合分けの境目が見えてきます。

図でいうと,点Hと点Rが一致する瞬間が場合分けのポイントですね。

あとは,\(t\) を0から1まで変化させて積分して終了です。